Γιατί η υδρόγειος δεν απλώνεται σε χάρτη χωρίς παραμόρφωση

Η σφαίρα δεν μπορεί να απλωθεί σε επίπεδο χωρίς η επιφάνειά της κάπου να τεντωθεί, να συμπιεστεί ή να σκιστεί. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους το απέδειξε μαθηματικά, και από το θεώρημά του προκύπτει ότι ούτε ένα κομμάτι χαρτί δεν μπορείς να τυλίξεις γύρω από μια μπάλα χωρίς να τσαλακωθεί. Γι' αυτό κάθε επίπεδος χάρτης του κόσμου παραμορφώνει κάτι: σχήμα, έκταση, απόσταση ή κατεύθυνση. Γι' αυτό οι ήπειροι φαίνονται αλλιώς στον χάρτη και αλλιώς στην υδρόγειο.

Ένα γνωστό παράδειγμα θα βρεις στον συνηθισμένο χάρτη του Μερκάτορα. Η Γροιλανδία φαίνεται εκεί περίπου όσο μεγάλη η Αφρική, αν και η Αφρική είναι στην πραγματικότητα περίπου 14 φορές μεγαλύτερη. Η υδρόγειος δεν έχει αυτό το λάθος, επειδή είναι η ίδια σφαίρα, έτσι βλέπεις πάνω της τις ηπείρους στη σωστή αναλογία, μαζί με την κλίση του άξονα της Γης.

Γιατί η σφαίρα δεν απλώνεται σε επίπεδο

Ένα επίπεδο φύλλο χαρτί μπορείς να το λυγίσεις σε σωλήνα ή χωνάκι και τίποτα πάνω του δεν θα τσαλακωθεί ούτε θα σκιστεί. Οι αποστάσεις ανάμεσα στα σημεία του χαρτιού μένουν ίδιες, το χαρτί απλώς λυγίζει. Η σφαίρα όμως είναι καμπυλωμένη προς όλες τις κατευθύνσεις ταυτόχρονα. Όταν θέλεις να την απλώσεις σε επίπεδο, πρέπει κάπου να τεντώσεις την επιφάνεια, αλλού να τη συμπιέσεις ή να την κόψεις.

Οι χαρτογράφοι, δηλαδή όσοι φτιάχνουν χάρτες, λύνουν αυτό το πρόβλημα με μια προβολή. Η προβολή είναι ένας μαθηματικός κανόνας που αντιστοιχίζει κάθε σημείο της σφαίρας σε ένα σημείο του επιπέδου. Κανένας κανόνας δεν μπορεί να διατηρήσει τα πάντα ταυτόχρονα, γι' αυτό κάθε προβολή διαλέγει τι θα κρατήσει και τι θα θυσιάσει. Οι κατασκευαστές υδρογείων ακολουθούν τον αντίθετο δρόμο: τυπώνουν τον χάρτη σε μακριές στενές λωρίδες χαρτιού που στενεύουν προς τους πόλους σε μύτη και τις κολλούν πάνω στη σφαίρα. Όσο περισσότερες λωρίδες χρησιμοποιούν, τόσο λιγότερο χρειάζεται να τεντώσουν και να τσαλακώσουν το χαρτί.

Τι παραμορφώνει ο χάρτης: σχήμα, έκταση ή απόσταση

Ένας επίπεδος χάρτης μπορεί να δείξει σωστά μία ή περισσότερες από αυτές τις ιδιότητες, ποτέ όμως όλες μαζί: κατευθύνσεις, αποστάσεις, εκτάσεις και σχήματα. Ένας χάρτης που διατηρεί τα σχήματα μικρών περιοχών, ο λεγόμενος σύμμορφος, δεν μπορεί ταυτόχρονα να διατηρήσει τις εκτάσεις. Και ένας χάρτης με σωστές εκτάσεις στραβώνει τα σχήματα.

Η διαφορά φαίνεται καλά σε τέσσερα είδη χαρτών που συναντάς συχνά:

Ο Μερκάτορας παρουσίασε τον χάρτη του το 1569 και ήταν μεγάλη βοήθεια για τους ναυτικούς: μια πορεία σχεδιασμένη ως ευθεία μπορούσαν να την κρατήσουν με πυξίδα. Η κλίμακα του χάρτη όμως μεγαλώνει όσο απομακρύνεσαι από τον ισημερινό. Πάνω από 70° βόρειο ή νότιο γεωγραφικό πλάτος ο χάρτης είναι πρακτικά άχρηστος, και στους πόλους η κλίμακα θα ήταν άπειρη, γι' αυτό ο χάρτης δεν τους δείχνει. Η Γροιλανδία έχει έκταση περίπου 2,17 εκατομμύρια km², η Αφρική περίπου 30 εκατομμύρια km², κι όμως στον χάρτη έχουν παρόμοιο μέγεθος.

Ο χάρτης Gall-Peters κάνει το αντίθετο. Ο Τζέιμς Γκαλ τον περιέγραψε το 1855 και ο Άρνο Πέτερς τον έκανε γνωστό στις αρχές της δεκαετίας του 1970. Οι εκτάσεις πάνω του είναι σωστές, αλλά τα σχήματα των περισσότερων ηπείρων είναι εμφανώς στραβωμένα. Οι χαρτογράφοι δείχνουν την παραμόρφωση και με μικρούς κύκλους ίδιου μεγέθους, που τους απλώνουν σε όλη την επιφάνεια της υδρογείου. Στον χάρτη γίνονται ελλείψεις διαφορετικού μεγέθους και σχήματος, και εκεί όπου διαφέρουν περισσότερο από τον κύκλο, η παραμόρφωση είναι μεγαλύτερη.

Τι να προσέξεις στην υδρόγειο

Η υδρόγειος είναι ο μόνος χάρτης του κόσμου που δεν έχει παραμόρφωση από προβολή. Όταν έχεις μία στο σπίτι ή στο σχολείο, πρόσεξε αυτά τα σημεία:

• Κλίση του άξονα. Ο άξονας της υδρογείου συνήθως δεν στέκεται κάθετα, αλλά γέρνει περίπου 23,4°. Με τον ίδιο τρόπο ο άξονας της Γης γέρνει ως προς το επίπεδο στο οποίο η Γη περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο, και αυτή ακριβώς η κλίση προκαλεί την εναλλαγή των εποχών.
• Παράλληλοι. Οι κύκλοι που είναι παράλληλοι με τον ισημερινό μικραίνουν προς τους πόλους. Οι τροπικοί βρίσκονται στις 23°26′ βόρειο και νότιο πλάτος, δηλαδή ακριβώς όσο η κλίση του άξονα από τον ισημερινό, και οι πολικοί κύκλοι στις 66°33′. Στον χάρτη του Μερκάτορα όλοι οι παράλληλοι έχουν το ίδιο μήκος με τον ισημερινό, γι' αυτό οι χώρες κοντά στους πόλους είναι τεντωμένες.
• Μεσημβρινοί. Οι γραμμές από πόλο σε πόλο συναντιούνται στην υδρόγειο σε ένα σημείο. Στον χάρτη του Μερκάτορα είναι παράλληλες κάθετες ευθείες που δεν συναντιούνται ποτέ.
• Γροιλανδία και Αφρική. Γύρισε την υδρόγειο ώστε να βλέπεις και τις δύο περιοχές ταυτόχρονα και σύγκρινε το μέγεθός τους. Μετά κοίτα το ίδιο σημείο σε έναν συνηθισμένο χάρτη του κόσμου.

Η παλαιότερη σωζόμενη υδρόγειος, το λεγόμενο Erdapfel του Μάρτιν Μπέχαϊμ, είναι του 1492. Η αρχή από τότε δεν έχει αλλάξει: μια σφαίρα με πλέγμα παραλλήλων και μεσημβρινών δείχνει τη Γη χωρίς τους συμβιβασμούς που πρέπει να κάνει κάθε επίπεδος χάρτης.

Πείραμα στο σπίτι: πορτοκάλι αντί για υδρόγειο

Αυτό που απέδειξε ο Γκάους θα το ελέγξεις σε λίγα λεπτά με ένα πορτοκάλι και έναν μαρκαδόρο.

1. Με τον μαρκαδόρο ζωγράφισε στη φλούδα μερικούς ίδιους κύκλους: έναν γύρω από τον «ισημερινό» στη μέση του πορτοκαλιού και έναν κοντά στο κοτσάνι, που θα είναι ο «πόλος».
2. Ξεφλούδισε το πορτοκάλι έτσι ώστε η φλούδα να μείνει σε ένα κομμάτι.
3. Βάλε τη φλούδα στο τραπέζι με την εσωτερική πλευρά προς τα κάτω και προσπάθησε να την πιέσεις εντελώς επίπεδη.
4. Δες τι έγινε: η φλούδα δεν ισιώνει μόνη της, και όταν την πιέσεις, σκίζεται ή τεντώνεται. Οι κύκλοι στα σημεία όπου η φλούδα τεντώθηκε αλλάζουν σχήμα.

Αυτό ακριβώς το πρόβλημα λύνει κάθε χάρτης. Είτε σκίζει την επιφάνεια σε λωρίδες, όπως κάνουν οι κατασκευαστές υδρογείων, είτε την τεντώνει και τη στραβώνει, όπως ο Μερκάτορας κοντά στους πόλους. Οι κύκλοι στη φλούδα λειτουργούν όπως οι κύκλοι με τους οποίους οι χαρτογράφοι δείχνουν την παραμόρφωση.

Τι να προσέξεις στο μοντέλο υδρογείου

Αν συναρμολογείς μόνος σου μια υδρόγειο, κρατάς στα χέρια σου όλα όσα συζητήσαμε: τη σφαίρα, τον άξονα και το πλέγμα των γραμμών. Τι ακριβώς μιμείται το μοντέλο σου θα το μάθεις από τις οδηγίες και τις εικόνες του. Στη συναρμολόγηση πρόσεξε αυτά τα σημεία:

• Ο άξονας και η στερέωσή του. Κοίτα αν ο άξονας του μοντέλου γέρνει και πώς τον κρατά η βάση. Αν το μοντέλο δείχνει την κλίση, σύγκρινέ τη με την κατακόρυφο.
• Η επιφάνεια της σφαίρας. Κοίτα από τι αποτελείται η σφαίρα. Αν ο χάρτης είναι χωρισμένος σε κομμάτια ή λωρίδες, πρόσεξε πώς στενεύουν προς τους πόλους και πού συναντιούνται.
• Παράλληλοι και μεσημβρινοί. Αν το μοντέλο τους έχει, παρατήρησε πώς οι παράλληλοι μικραίνουν και οι μεσημβρινοί συγκλίνουν. Είναι η ίδια εικόνα όπως σε μια πραγματική υδρόγειο.

Αν μια υδρόγειος με γρανάζια γυρίζει δύσκολα ή κολλάει, πώς να βρεις την τριβή θα το βρεις στο άρθρο Ο μηχανισμός κολλάει: βρες την τριβή και διόρθωσέ την. Και όταν ένα μοντέλο με φως σταματήσει να φωτίζει, θα βοηθήσει το άρθρο Το μινιατούρα σπίτι δεν ανάβει: μπαταρίες και καλώδια.

Αυτά τα μέρη μπορείς να τα δεις για παράδειγμα στο μοντέλο Ξύλινο τρισδιάστατο παζλ - Φωτεινή σφαίρα ROKR ST003. Σύμφωνα με την περιγραφή στο κατάστημα έχει διαφανή χάρτη, κίνηση με γρανάζια, στήριγμα γεωγραφικού πλάτους, μεγεθυντικό φακό και ζεστό φως νυκτός με σύνδεση Micro USB. Σύμφωνα με τα στοιχεία του καταστήματος προορίζεται για ηλικίες από 14 ετών.

Συχνές ερωτήσεις